University of Kirkuk Kirkuk Journal of Science 3005-4788 13 1 2018 03 01 A new Definition of Fractional Derivative and Fractional Integral 304 323 143047 10.32894/kujss.2018.143047 EN Ahmed M. Kareem Journal Article 2018 06 01 In this paper, we introduce three different definitions of fractional derivatives, namely Riemann-Liouville derivative, Caputo derivative and the new formula Caputo expansion formula, and some basics properties of these derivatives are discussed. The difference between Caputo and Riemann – Liouville formulas for the fractional derivatives also mentioned. The paper focuses on find approximate values for function derivatives, when the function order is a negative integer, illustrated by some theorems and examples. في هذا البحث نقدم ثلاثة تعريفات مختلفة للمشتقات الكسرية, وهي تعريف الاشتقاق الكسري حسب ريمان – لوفيل ,وتعريف الاشتقاق الكسري حسب كابوتو والتعريف الجديد للمشتقات الكسرية صيغة كابوتو الموسعة ونناقش بعض الخصائص الأساسية لهذه المشتقات .وكذلك قدمنا الفرق بين خصائص المشتقات الكسرية حسب تعريف ريمان- لوفيل وحسب تعريف كابوتو. البحث يركز على أيجاد قيم تقريبية لمشتقات الدوال عندما يكون اس الدالة عدد صحيح سالب. وهذا يتضح من بعض النظريات والأمثلة. Gamma function Beta function Mittag Leffler Function Complementary Error Function Fractional integration Riemann Liouville and Caputo fractional derivatives Complementary Error Liouville https://kujss.uokirkuk.edu.iq/article_143047_0579cfc448c13b16fcf20be26771614d.pdf